Chapter 2:关系数据模型¶
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关系数据模型
正如我们在第一章中所讨论的那样，关系数据模型是一种用于表示数据的结构化方法。在关系数据模型中，数据被组织为表格（表）的形式。表格是由行和列组成的，其中每行代表一个实体，每列代表一个属性。表格中的每个单元格包含一个值。
关系数据库是基于关系数据模型的数据库。
关系¶
给定集合 \(D_1, D_2, \dots, D_n\)，一个关系 \(r\) 是 \(D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n\) 的子集。因此，一个关系是由 \(n\) 元组 \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) 所组成的集合，其中每个 \(a_i \in D_i\)。
而所谓 Relation Schema, 是关系的模式，它定义了关系的名称以及每个属性的名称和类型。例如：
instructor = {name, dept_name, salary}
而关系实例可以是：
r = { (Wu, Finance, 90000),
(Mozart, Music, 40000),
(Gold, Physics, 87000),
(Singh, Finance, 80000) }
Keys¶
在关系模型中，一个关键（Key）是一个属性或属性集合，它可以唯一标识一个元组。
Superkey(超键)¶
一个超键是一个属性集合，它可以唯一标识一个元组。例如，{name}不是一个超键，因为存在同名的人，但是{name,ID}的组合是一个超键。
Candidate Key(候选键)¶
一个候选键是一个最小的超键，即它是一个超键，但是去掉任何一个属性后就不再是超键。例如，{ID}是一个候选键，但是{ID, name}不是。
Primary Key(主键)¶
一个主键是一个候选键，且没有任何冗余属性。{ID}是一个主键，而{ID, name}不是。一般主键属性要加下划线，即{ID, name} -> {ID, name}。
Foreign Key(外键)¶
外键就是一张表里某一列属性，它的值都可以在另一张表的主键中找到。个人感觉与C语言的指针有点像，指向另一张表的主键。
外键需要参照完整性(Referential integrity)约束，即外键的值必须在被参照的表的主键中存在。
模式图¶
有了主键与外键的概念，我们可以画出模式图。例如：
大学数据库
关系查询语言¶
关系查询语言是用于查询数据库的语言，它可以分为两类：
-
关系代数：关系代数是一种形式化的查询语言，它使用一组操作来操作关系。这些操作包括选择、投影、连接、并、差、交等。
-
关系演算：关系演算是一种声明性的查询语言，它描述了所需的数据，而不是如何获取数据。关系演算分为两种：元组关系演算和域关系演算。
上面两类语言在计算上是等价的，即可以相互转换。
六类基本操作¶
我们一般使用关系代数来查询数据库，分为如下六类:
Select:\(\sigma\)¶
选择操作，选择满足条件的元组。表示为\(\sigma_{condition}(relation)\)。condition是由属性，常量和逻辑运算符(和离散数学一样，使用 \(\lor\), \(\land\), \(\lnot\))组成的条件。例如：\(\sigma_{dept_name='Finance'}(instructor)\), 选择出dept_name为Finance的元组;\(\sigma_{salary>80000}(instructor)\), 选择出salary大于80000的元组。
Project:\(\Pi\)¶
投影操作，选择满足条件的属性。表示为\(\Pi_{attribute}(relation)\)。例如：\(\Pi_{name, dept_name}(instructor)\), 选择出name和dept_name属性,组成一个新的关系。
Union:\(\cup\)¶
并操作，合并两个关系。被合并的两个关系必须满足如下条件：
-
两个关系的属性数目(arity)相同。
-
属性的域(domain)是兼容的。
例如，要找到所以2009年秋学期与2010年春学期的课，可以这样写：
\(\Pi_{course_id}(\sigma_{semester='Fall' \land year=2009}(section)) \cup \Pi_{course_id}(\sigma_{semester='Spring' \land year=2010}(section))\)
Set Difference:\(-\)¶
差操作，返回两个关系的差集。
例如，要找到所有2009年秋学期但不是2010年春学期的课，可以这样写：
\(\Pi_{course_id}(\sigma_{semester='Fall' \land year=2009}(section)) - \Pi_{course_id}(\sigma_{semester='Spring' \land year=2010}(section))\)
Cartesian Product:\(\times\)¶
笛卡尔积操作，返回两个关系的笛卡尔积。
例如，要找到所有教授和他们的课程，可以这样写：
\(\sigma_{instructor.ID=teaches.ID}(instructor \times teaches)\)
注意，两个关系要笛卡尔乘积，需要它们的属性不同。如果有相同的属性名，那么需要用rename操作。
Rename:\(\rho\)¶
重命名操作，重命名关系或属性。
假设有一个名为 instructor 的关系，包含属性 ID 和 name。
-
重命名关系：
将
instructor关系重命名为professor：\[ \rho_{professor}(instructor) \] -
重命名属性：
将
instructor关系中的ID属性重命名为instructor_id：\[ \rho_{instructor_id, name}(instructor) \] -
同时重命名关系和属性：
将
instructor关系重命名为professor，并将ID属性重命名为instructor_id：\[ \rho_{professor(instructor_id, name)}(instructor) \]
Example¶
🌰
Find the names of all instructors in the Physics department, along with the course_id of all courses they have taught
\(\Pi_{instructor.name,course\text{_}id}(\sigma_{dept\text{_}name="Physics"}(\sigma_{instructor.id=teaches.id}(instructor \times teaches)))\)
Additional Operations¶
Intersection:\(\cap\)¶
交操作，返回两个关系的交集。使用公式：
Natural Join:\(\bowtie\)¶
自然连接操作，返回两个关系的连接。自然连接是一种特殊的笛卡尔积，它只返回那些在连接属性(\(R \cap S\))上相等的元组。自然连接满足结合律和交换律。
Theta Jion¶
在自然连接的基础上加上一个条件。
写作：
Outer Join: 外连接操作¶
返回两个关系的连接，同时返回那些在连接属性上不相等的元组。不存在的值用NULL填充。
对于下图的数据表：
-
Left Outer Join: 返回左关系的所有元组，同时返回那些在连接属性上不相等的右关系的元组。
-
Right Outer Join: 返回右关系的所有元组，同时返回那些在连接属性上不相等的左关系的元组。
-
Full Outer Join: 返回两个关系的所有元组，同时返回那些在连接属性上不相等的元组。
外连接的表示？
半连接操作¶
半连接会从关系 r 中选择那些与关系 s 中至少一个元组满足连接条件\(\theta\)的元组。通俗的说，半连接是一种存在性测试，它检查关系 r 中的元组在关系 s 中是否存在满足特定条件的匹配项。
对于命令：select name from instructor where exists (select * from teaches where instructor.ID = teaches.ID and teaches.year = 2022)
-
选择出 teaches 表中 year 为 2022 的元组。
-
选择出 instructor 表中 ID 与 teaches 表中 ID 相等的元组。
-
选择出 instructor 表中 name 属性。
就可以写为如下的半连接：
NULL Values¶
与Null的比较会得到一个新的布尔值：Unknown。
-
Or: True or Unknown = True, False or Unknown = Unknown, Unknown or Unknown = Unknown.
-
And: True and Unknown = Unknown, False and Unknown = False, Unknown and Unknown = Unknown.
-
Not: Not Unknown = Unknown.
Assignment: \(\leftarrow\)¶
赋值操作，将一个关系赋值给一个变量。
例如：
这个操作将选择出dept_name为Finance的元组，并将其赋值给变量R。
Division: \(\div\)¶
除法操作，返回两个关系的商。
商的定义
给定关系 r(R) 和 s(S)，其中 S 是 R 的子集，r \(\div\) s 是满足以下条件的最大关系 t(R-S)：
简单来说，关系 r 除以关系 s 的结果是一个关系 t，t 包含 r 中所有与 s 中的元组组合后仍然在 r 中的元组。
除法可以使用如下的公式表示：
解释：
-
temp1: 首先，我们通过投影操作 \(\Pi_{R-S}(r)\)，从关系
r中选择所有不在关系s中的属性（R-S），并将结果存储在temp1中。这相当于找到所有可能出现在结果关系t中的元组。 -
temp2: 接下来，我们计算
temp2。 *(temp1 × s): 我们计算temp1和s的笛卡尔积。这将temp1中的每个元组与s中的每个元组组合在一起。 *\Pi_{R-S,S}(r): 我们从关系r中投影出属性 R-S 和 S，也就是关系 r 的所有属性。 *(temp1 × s) - \Pi_{R-S,S}(r): 我们从temp1 × s中减去\Pi_{R-S,S}(r)。这将删除所有在r中存在的temp1和s的组合。剩下的元组就是那些与s组合后不在r中的temp1元组。 *\Pi_{R-S}((temp1 \times s) - \Pi_{R-S,S}(r)): 我们从结果中投影出属性 R-S。这将删除所有与s组合后不在r中的temp1元组。 -
result: 最后，我们计算
temp1 - temp2。这将从temp1中删除所有与s组合后不在r中的元组。剩下的元组就是关系r除以关系s的结果。
Extended Operations¶
Generalized Projection¶
在投影操作中允许使用表达式。
例如：
\(\Pi_{name, salary*1.1}(instructor)\)
Aggregation¶
聚合操作用于对关系中的元组进行汇总计算。它可以分为两种情况：
-
没有分组的聚合:
当没有指定分组属性时，聚合函数将应用于关系中的所有元组，计算出一个单一的结果。
表示形式：
\[ \gamma_{agg\_func(attribute)}(relation) \]例如，计算所有教师的平均工资：
\[ \gamma_{AVG(salary)}(instructor) \] -
有分组的聚合:
当指定了分组属性时，关系将首先按照这些属性进行分组，然后聚合函数将分别应用于每个组中的元组，计算出每个组的结果。
表示形式：
\[ \sideset{_{grouping\_attribute_1, \dots, grouping\_attribute_n}}{} \gamma_{agg\_func(attribute)} (relation) \]例如，按照部门计算教师的平均工资：
\[ \sideset{_{dept\_name}}{AVG(salary)}\gamma (instructor) \]
在这个例子中，dept_name 是分组属性，AVG(salary) 是聚合函数。结果将包含每个部门的名称以及该部门教师的平均工资。
