Spins, Qubits, and Linear Operators for Measurement

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Stern-Gerlach Experiment

Stern-Gerlach 实验研究的是: 带有磁矩的原子束经过非均匀磁场时会如何偏转。

实验装置测量结果再次测量物理意义Qubit 与 Bloch 球

实验装置可以概括为:

• 先用 collimator 把银原子束压窄成一束很细的粒子流
• 再让它穿过一个沿 z 方向、且强度随位置变化的非均匀磁场
• 最后原子打到玻璃探测屏上,观察落点分布

磁场通常写成

\[ \vec{B}(z) = B(z)\hat{z} \]

这里关键不只是有磁场,而是磁场有梯度,因此原子会受到与

\[ F_z \propto \frac{dB}{dz} \]

相关的力,从而在 z 方向发生偏转。

如果把自旋想成一个经典小磁针,那原子束经过磁场后,按直觉似乎应该在屏上形成连续分布。

但 Stern 和 Gerlach 实际观察到的是:

• 打开电磁铁后,银原子束分裂成了两条清晰的分支
• 屏上只出现两个离散落点区域,而不是一整片连续条纹

这说明沿 z 方向测量时,自旋只给出两个离散结果,通常记作:

\[ |+z\rangle,\ |-z\rangle \]

或者对应地理解为“spin up / spin down”。

如果把第一台仪器后的探测屏拿掉,只保留其中一束,再把它送入第二台同样沿 z 方向的 Stern-Gerlach 仪器中,结果是:

• 光束不会再次分裂

• 它只会沿原来的那一支继续前进

这表示第一次测量之后,粒子已经被制备到了某个确定的 z 方向自旋本征态中。对同一方向重复测量,结果是确定的。

如果把第二台仪器旋转,让磁场梯度改为沿 x 方向,情况就不同了:

• 原来从 z 方向筛出来的单束原子,进入第二台后会再次分裂成两束

• 且这两束的强度相等

也就是说,一个确定的 $|+z\rangle$ 态,在 x 方向测量时会得到两个结果,概率各为 1/2。

这可以记成

\[ |+z\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+x\rangle + |-x\rangle\right) \]

这正是量子态叠加的典型表现。

如果自旋只是经典意义下“只有两个值”的量,那我们可能会把它理解为一个集合,例如 {0,1}。这种描述只具有布尔逻辑,无法解释:

• 为什么同方向重复测量不再分裂

• 为什么换一个测量方向后又会重新分裂

• 为什么两个输出束恰好是等强的

因此,自旋不是经典 bit。

更合适的描述是:

• 自旋态属于一个二维复向量空间 \(\mathbb{C}^2\)

• \(|+z\rangle, |-z\rangle\) 可以看成这空间中的一组基

• \(|+x\rangle, |-x\rangle\) 是另一组基

• 同一个态在不同基下展开系数不同,于是对应不同测量结果的概率分布

所以每个自旋 1/2 系统都可以编码一个 qubit。

可以把经典 bit 的两个状态表示成二维空间中的两个正交单位向量:

\[ |0\rangle \equiv |\uparrow\rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |1\rangle \equiv |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \]

对经典 bit 来说,系统只能处在 \(|0\rangle\) 或 \(|1\rangle\) 之一,不会同时处在两者的叠加态里。但在量子力学中,这两个态可以叠加,于是我们把它们提升为 $ \mathbb{C}^2 $中的一组基。

因此一个一般的 qubit 状态可以写成

\[ |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix}, \qquad \alpha,\beta \in \mathbb{C} \]

并满足归一化条件

\[ \langle\psi|\psi\rangle = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \]

这里的归一化来自概率解释: 测到 \(|0\rangle\) 与 \(|1\rangle\) 的概率之和必须为 1。

同一个态也常写成

\[ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle \]

这里多乘上一个\(e^{i\phi}\)不改变模长,因为\(|e^{i\phi}|=1\)。因此,我们可以把一个 qubit 的状态用 Bloch 球面上的一个点来表示,其中 \(\theta\) 是极角, \(\phi\) 是方位角。

这样就能把一个纯态表示成 Bloch 球面上的一个点。

为什么是 \(\theta/2\) 而不是 \(\theta\)

这样写可以保证 \(|0\rangle\) 与 \(|1\rangle\) 之间的相对相位只由 \(\phi\) 参数控制。如果直接写成 \(\cos\theta |0\rangle + e^{i\phi}\sin\theta |1\rangle\)，那么 \(( \theta,\phi )\) 与 \(( \pi-\theta,\pi+\phi )\) 会只差一个整体相位 \(e^{i\pi}=-1\)，从而对应同一个量子态，这样映射就不是一一对应了。

需要注意的是, Bloch 球上的几何表示并不直接保持正交关系。例如

\[ \langle 0|1\rangle = 0 \]

但在 Bloch 球上, \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 只是被画成方向相反的两个单位向量。

Linear Operators and Matrices

这里直接给出几条结论:

• 矩阵是测量的工具,它是一个线性算子。

• 矩阵的特征值就是测量结果

• 矩阵的特征向量就是测量后粒子坍缩到的状态

什么叫线性算子厄米算子别忘了可对角化矩阵

在线性代数里,一个算子本质上就是“把向量映射到另一个向量的规则”。如果这个规则记作 \(A\),那么

\[ A: V \to V \]

表示它把向量空间 \(V\) 中的一个态映射到另一个态。

所谓线性,就是它必须满足:

\[ A(\alpha |\psi\rangle + \beta |\phi\rangle) = \alpha A|\psi\rangle + \beta A|\phi\rangle \]

也就是说,先做线性组合再作用算子,和先分别作用再线性组合,结果一样。

这件事很重要,因为量子态本身允许叠加。如果算子不保持线性,那它就没法和量子叠加原理兼容。

在量子力学中,我们特别关注厄米算子（Hermitian operator）。一个算子 \(A\) 是厄米的,如果它满足

\[ A = A^\dagger \]

这里 \(A^\dagger\) 是 \(A\) 的共轭转置。厄米算子有几个重要性质:

• 它的特征值都是实数,因此可以对应实际测量结果

  这里用线代I中学过的知识就知道,\(A |X\rangle = \lambda |X\rangle\),经过变换我们可以得到\(\langle X|A|X\rangle = \lambda \langle X|X\rangle = \lambda^* \langle X|X\rangle\),因此\(\lambda = \lambda^*\),说明\(\lambda\)是实数.

• 不同特征值对应的特征向量是正交的,因此可以形成一个完备的基底

所有用来测量的矩阵都是厄米的,因为测量结果必须是实数!

如果系统当前处于状态 \(|\psi\rangle\),现在去测量某个可观测量 \(L\),并且 \(\lambda\) 是 \(L\) 的一个本征值,对应本征态为 \(|\lambda\rangle\),那么测到结果 \(\lambda\) 的概率为

\[ P_\lambda = \langle\psi|\lambda\rangle\langle\lambda|\psi\rangle = |\langle\lambda|\psi\rangle|^2. \]

这就是 Born rule 在离散本征态情形下的写法。这里 \(\langle\lambda|\psi\rangle\) 表示“把态 \(|\psi\rangle\) 投影到测量基底 \(|\lambda\rangle\) 上得到的概率振幅”,而其模平方才是真正的测量概率。

我们知道一个矩阵的代数重数是它的特征值的重数,而几何重数是对应特征值的线性无关特征向量的个数。对于厄米矩阵来说,代数重数和几何重数总是相等的,因此它们都是可对角化的。

更具体地说,如果矩阵 \(A\) 有一组线性无关的特征向量

\[ |v_1\rangle,\ |v_2\rangle,\ \dots,\ |v_n\rangle \]

以及对应的特征值

\[ \lambda_1,\ \lambda_2,\ \dots,\ \lambda_n, \]

满足

\[ A|v_i\rangle = \lambda_i |v_i\rangle, \qquad i=1,2,\dots,n, \]

那么把这些特征向量按列排成矩阵

\[ P=\begin{pmatrix} |v_1\rangle & |v_2\rangle & \cdots & |v_n\rangle \end{pmatrix}, \]

就有

\[ P^{-1}AP = D, \]

其中

\[ D= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}. \]

这也等价于写成

\[ A = P D P^{-1}. \]

在原来的基底下,算子写成矩阵 \(A\)；但如果换到由特征向量组成的新基底下,它就变成了对角矩阵 \(D\)。所以对角化的本质其实就是换基。

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Pauli Matrices

在我看来,泡利矩阵的计算初衷就是,对于自旋方向真的是\(+z\)的态,我们希望它在\(\sigma_z\)上的测量结果是\(+1\),

而对于自旋方向真的是\(-z\)的态,我们希望它在\(\sigma_z\)上的测量结果是\(-1\).因此我们就可以通过定义

\(\sigma_z\)的矩阵表示来满足这个要求。对于\(\sigma_x\)和\(\sigma_y\)也是同样的道理。

\(\sigma_z\) 的矩阵表示\(\sigma_x\) 的构造\(\sigma_y\) 与泡利矩阵任意方向的自旋测量与 Bloch 球的对应

之前已经知道,沿 \(z\) 方向测量自旋时,两个本征态分别是

\[ |0\rangle,\quad |1\rangle, \]

对应的测量结果是 \(+1\) 和 \(-1\)。因此在 \(\{|0\rangle,|1\rangle\}\) 这组基底下,算子 \(\sigma_z\) 的矩阵元为

\[ \sigma_z = \begin{pmatrix} \langle 0|\sigma_z|0\rangle & \langle 0|\sigma_z|1\rangle\\ \langle 1|\sigma_z|0\rangle & \langle 1|\sigma_z|1\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

这里也用到了归一化条件

\[ \langle 0|0\rangle = \langle 1|1\rangle = 1. \]

如果一个自旋态写成

\[ |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, \]

那么:

• \(|\alpha|^2\) 是测得自旋向上,也就是测得 \(\sigma_z = +1\) 的概率
• \(|\beta|^2\) 是测得自旋向下,也就是测得 \(\sigma_z = -1\) 的概率

如果把 Stern-Gerlach 仪器旋转到 \(x\) 方向,那么测量结果仍然只有 \(\pm 1\)。于是可以定义两个新的本征态:

\[ \sigma_x |r\rangle = |r\rangle,\qquad \sigma_x |l\rangle = -|l\rangle. \]

实验告诉我们,若先制备出 \(|r\rangle\) 态,再去沿 \(z\) 方向测量,会以相等概率分裂成两束。因此在

\[ |r\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \]

中必须有

\[ |\alpha|^2 = |\beta|^2 = \frac12. \]

相位可以通过坐标轴选取吸收掉,通常直接取为 \(0\),于是

\[ |r\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle. \]

再利用正交归一条件

\[ \langle r|l\rangle = 0,\qquad \langle l|l\rangle = 1, \]

可以得到

\[ |l\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle. \]

现在要求 \(\sigma_x\) 在这两个态上的作用满足

\[ \sigma_x \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ 1/\sqrt2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ 1/\sqrt2 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_x \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ -1/\sqrt2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ -1/\sqrt2 \end{pmatrix}, \]

解出来就是

\[ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

用类似但稍复杂一些的方式,可以得到

\[ \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}. \]

它对应本征值 \(\pm 1\) 的本征态可以写成

\[ |i\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt2}|1\rangle, \qquad |o\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{i}{\sqrt2}|1\rangle. \]

于是

\[ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

这三者统称为 Pauli matrices。

从推导中可以看出,这三个矩阵的基都是基于 \(\sigma_z\) 的本征态 \(|0\rangle,|1\rangle\) 构造出来的。

由于自旋测量和空间方向有关,可以把三者合起来写成一个三维算子向量

\[ \vec{\sigma} = \sigma_x \hat{x} + \sigma_y \hat{y} + \sigma_z \hat{z}. \]

这里要区分两种“向量”:

• 我们生活的空间是三维实空间,方向 \(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\) 是空间方向
• 量子态 \(|\psi\rangle\) 属于二维复向量空间,这是态空间

如果要沿任意方向

\[ \hat{n} = (n_x,n_y,n_z) \]

测量自旋,对应的算子就是

\[ \sigma_n = \vec{\sigma}\cdot\hat{n} = \sigma_x n_x + \sigma_y n_y + \sigma_z n_z = \begin{pmatrix} n_z & n_x - i n_y\\ n_x + i n_y & -n_z \end{pmatrix}. \]

可以验证,它的特征值仍然是

\[ \pm 1. \]

任意纯态都可以写成

\[ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|+z\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|-z\rangle. \]

它对应的三维 Bloch 向量为

\[ \vec r = (\sin\theta\cos\phi,\ \sin\theta\sin\phi,\ \cos\theta). \]

也就是说:

• 态空间里的 qubit 可以用 Bloch 球面上的一个点表示
• 这个点的方向,正好对应“沿哪个方向测量时更像是自旋向上态”

因而 Pauli 矩阵、Stern-Gerlach 测量和 Bloch 球三者其实是在描述同一件事的不同侧面。

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