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多量子比特

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Tensor Product

两个比特放在一起,一共有四种状态,对于这四种状态,我们可以用One-hot编码来表示:

\[ \begin{aligned} |00\rangle &= (1,0,0,0)^T \\ |01\rangle &= (0,1,0,0)^T \\ |10\rangle &= (0,0,1,0)^T \\ |11\rangle &= (0,0,0,1)^T \end{aligned} \]

更一般地说,如果 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵(或向量), \(B\) 是一个 \(p \times q\) 的矩阵(或向量),那么它们的张量积 \(A \otimes B\) 会得到一个 \(mp \times nq\) 的矩阵,写成块矩阵的形式就是

\[ A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix}. \]

如果是两个向量 \(|u\rangle\) 和 \(|v\rangle\) 的张量积,通常会简写成

\[ |u\rangle|v\rangle \]

或者直接写成

\[ |uv\rangle. \]

上面写的 \(|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\) 就都是这种简写。

例如

\[ |0\rangle \otimes |0\rangle = |00\rangle,\quad |0\rangle \otimes |1\rangle = |01\rangle, \]
\[ |1\rangle \otimes |0\rangle = |10\rangle,\quad |1\rangle \otimes |1\rangle = |11\rangle. \]

所以,两个 qubit 放在一起之后,状态空间就从原来的二维变成了四维。

换句话说,两个 qubit 的状态就是空间

\[ (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \]

中的单位向量。

如果第一个 qubit 处在 \(|0\rangle\),第二个 qubit 处在 \(|1\rangle\),那么整个双 qubit 系统的状态就是

\[ |0\rangle \otimes |1\rangle, \]

也可以简写成

\[ |0\rangle|1\rangle \quad \text{或者} \quad |01\rangle. \]

更一般地,如果第一个 qubit 处在

\[ \alpha_1|0\rangle + \beta_1|1\rangle, \]

第二个 qubit 处在

\[ \alpha_2|0\rangle + \beta_2|1\rangle, \]

那么它们合在一起之后的乘积态就是

\[ (\alpha_1|0\rangle + \beta_1|1\rangle)\otimes(\alpha_2|0\rangle + \beta_2|1\rangle) \]

把它展开,得到

\[ \alpha_1\alpha_2|00\rangle + \alpha_1\beta_2|01\rangle + \beta_1\alpha_2|10\rangle + \beta_1\beta_2|11\rangle. \]

这里虽然把两个 qubit 放到了一起,但它们携带的信息仍然是可分开的,所以这种态叫做乘积态。

一个直接的表现是: 如果我们只对第一个 qubit 作用一个算子 \(L\),第二个 qubit 不会变。写成公式就是

\[ (L \otimes I)(|u\rangle \otimes |v\rangle) = (L|u\rangle) \otimes |v\rangle. \]

这里的 \(I\) 是恒等算子,表示“第二个 qubit 什么都不做”。

然而,并不是所有的双 qubit 态都是separable的,也就是说,并不是所有的双 qubit 态都能写成某个乘积态的形式。

那些不能写成乘积态的双 qubit 态,就叫做纠缠态。

先看单个 qubit。一个一般态可以写成

\[ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, \qquad \alpha,\beta \in \mathbb{C}. \]

这里一开始有 \(2\) 个复数,也就是 \(4\) 个实参数。但其中:

  • 归一化条件 \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\) 去掉了 \(1\) 个实自由度

  • 整体相位 \(e^{i\phi}\) 不影响物理态,因此又去掉了 \(1\) 个实自由度

所以,一个 qubit 的纯态实际上只需要 \(2\) 个实参数来描述。

于是,一个双 qubit 的乘积态

\[ |u\rangle \otimes |v\rangle \]

本质上就是“第一个 qubit 的 \(2\) 个实参数 + 第二个 qubit 的 \(2\) 个实参数”,总共只需要 \(4\) 个实参数。

但最一般的双 qubit 纯态可以写成

\[ |\psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle, \qquad a,b,c,d \in \mathbb{C}. \]

这里有 \(4\) 个复数,也就是 \(8\) 个实参数。再减去:

  • 一个归一化条件
  • 一个整体相位

最后还剩下 \(6\) 个实自由度。

这说明一般双 qubit 态的空间,比乘积态的空间要大得多。

所以,纠缠并不是“两个 qubit 放在一起”这么简单,而是说整个系统的状态已经不能再拆成“第一个 qubit 的状态”和“第二个 qubit 的状态”的直接乘积了。

需要注意的是,在双量子比特系统中,更严格的写法通常应是 \(\sigma_x \otimes I\),它表示 \(\sigma_x\) 只作用在第一个 qubit 上,而第二个 qubit 保持不变。在上下文明确时,有时也会把它简写成 \(\sigma_x\),但这时默认的意思仍然是“对第一个 qubit 作用 \(\sigma_x\),对第二个 qubit 什么都不做”。

如何测量

直接给结论:对于一个状态为\(| \psi \rangle\)的系统,去测量\(L\),测量的期望值是\(\langle \psi | L | \psi \rangle\)。

Prove

由于\(L\)是厄米算子,根据谱定理,我们可以找到\(L\)的一组本征态\(\{ | \lambda_i \rangle \}\),以及对应的本征值\(\{ \lambda_i \}\),使得

\[ L = \sum_i \lambda_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i |. \]

我们又知道,在测量态为\(| \psi \rangle\)的系统时,测量结果\(\lambda_i\)出现的概率是

\[ p_i = | \langle \lambda_i | \psi \rangle |^2 = \langle \psi | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \psi \rangle. \]

而期望\(E\)=\(\sum_i p_i \lambda_i\),所以

\[ E = \sum_i \lambda_i \langle \psi | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \psi \rangle = \langle \psi | \left( \sum_i \lambda_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \right) | \psi \rangle = \langle \psi | L | \psi \rangle. \]

然而,上面的式子只对纯态是显然的

纯态的意思是: 我们对系统的状态知道得很完整,它就是某一个确定的态向量。

例如,一个 qubit 处在

\[ |0\rangle \]

或者处在

\[ \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \]

这两种都属于纯态。

要注意,第二个例子虽然是叠加态,但它仍然是纯态。因为这是振动的叠加,而不是概率的混合。

混态的意思是: 系统并不是处在一个我们已知的确定态向量上,而是我们只知道它有若干种可能,但不知道这次具体是哪一个。

例如,我们准备了很多个 qubit,其中一半是

\[ |0\rangle, \]

另一半是

\[ |1\rangle. \]

如果只随机拿出其中一个来看,那你并不知道它这次到底是 \(|0\rangle\) 还是 \(|1\rangle\)。这种“经典概率混合”就是混态。

所以:

  • \(\dfrac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\) 是纯态

  • “以 \(50\%\) 概率是 \(|0\rangle\),以 \(50\%\) 概率是 \(|1\rangle\)” 是混态

如果要计算一个处于混合态下的系统的测量,我们就需要引入密度矩阵

Density Matrix

我们在线性代数中学过,一个矩阵的迹是它的对角线元素之和,记作 \(\mathrm{Tr}(A)\)。

在这里,我们介绍一种迹的写法,记厄米算子 \(L\) 的谱分解为

\[ L = \sum_i \lambda_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i |, \]

那么我们可以定义

\[ \operatorname{Tr}(L) = \sum_i \langle i|L|i\rangle, \]

其中 \(\{|i\rangle\}\) 是一组正交归一基,在这组基下,\(L\)的矩阵是一个对角矩阵,对角线上的元素就是 \(L\) 的本征值 \(\lambda_i\)。

对于纯态 \(|\psi\rangle\),我们已经知道,它对算子 \(L\) 的期望值可以写成

\[ \langle \psi|L|\psi\rangle. \]

现在利用完备关系

\[ I=\sum_i |i\rangle\langle i|, \]

可以把它改写成

\[ \langle \psi|L|\psi\rangle = \sum_i \langle \psi|L|i\rangle\langle i|\psi\rangle = \sum_i \langle i|\psi\rangle\langle \psi|L|i\rangle. \]

第二个等号只是把两个复数的顺序交换了一下。

我们可以看到,这个式子相当于是用正交基把中间那一坨包裹起来了,于是根据迹的定义,

\[ \langle \psi|L|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|L). \]

如果记

\[ \rho \equiv |\psi\rangle\langle\psi|, \]

那么就可以把纯态的期望值写成

\[ \langle \psi|L|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\rho L). \]

这里的 \(\rho\) 就是纯态 \(|\psi\rangle\) 对应的密度矩阵。

混合态也可以用同样的方式来算期望值。例如,Alice 只知道系统有一半概率处在 \(|0\rangle\),另一半概率处在 \(|r\rangle\),但她并不知道这一次具体是哪一个态。

那么她对算子 \(L\) 的期望值就应该写成

\[ \langle L\rangle = \frac{1}{2}\langle 0|L|0\rangle + \frac{1}{2}\langle r|L|r\rangle. \]

再利用刚才纯态的写法,这也可以改写成

\[ \langle L\rangle = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(|0\rangle\langle 0|L) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(|r\rangle\langle r|L). \]

所以如果定义这个混合态的密度矩阵为

\[ \rho = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| + \frac{1}{2}|r\rangle\langle r|, \]

实际上,混合态的密度矩阵一般写法也就是\(\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|\),其中\(p_i\)是系统处在态\(|\psi_i\rangle\)的概率。

那么它的期望值就统一写成

\[ \langle L\rangle = \operatorname{Tr}(\rho L). \]

Reduced Density Matrix

接下来还会遇到一种更常见的情况: 整个系统是一个多体系统,但我们手里只能测其中的一部分。

例如,设第三方 Charlie 每次都制备两个 qubit 的联合态 \(|\psi\rangle\),然后把一个 qubit 发给 Alice,另一个发给 Bob。

这时整个系统的密度矩阵是

\[ \rho = |\psi\rangle\langle\psi|. \]

但 Alice 手里只有自己的那个 qubit,因此她能做的测量只能是局域测量。若她测量一个只作用在自己那部分空间上的算子 \(L_A\),那么在整个双 qubit 系统上,这个算子应写成

\[ L_A \otimes I_B. \]

如果这个实验重复很多次,Alice 就可以通过统计平均得到

\[ \langle L_A\rangle = \langle \psi|(L_A\otimes I_B)|\psi\rangle. \]

这时自然会问: 能不能只用 Alice 自己那一部分的信息来计算这个期望值? 也就是说,是否存在某个只作用在 Alice 空间上的矩阵 \(\rho_A\),使得

\[ \langle L_A\rangle = \operatorname{Tr}(\rho_A L_A) \]

答案是可以的。这个 \(\rho_A\) 就叫做 Alice 子系统的约化密度矩阵(reduced density matrix),它由整个系统的密度矩阵对 Bob 的自由度做偏迹(partial trace)得到:

\[ \rho_A = \operatorname{Tr}_B(\rho). \]

偏迹可以这样理解:

  • 如果整个态本来就是乘积形式

    \[ |\psi\rangle = |u\rangle \otimes |v\rangle, \]

    那么对 Bob 做偏迹之后,直接就得到 Alice 那一部分的密度矩阵

    \[ \rho_A = |u\rangle\langle u|. \]

  • 如果整个态不是简单的乘积态,而是一个叠加态,那么就需要按 Bob 的一组正交归一基 \(\{|j\rangle_B\}\) 来求和:

    \[ \rho_A = \operatorname{Tr}_B(|\psi\rangle\langle\psi|) = \sum_j \langle j_B|\psi\rangle \langle\psi|j_B\rangle. \]

    实际上,这就像条件概率中,我们已知\(P(A|B_1), P(A|B_2), \cdots\)以及\(P(B_1), P(B_2), \cdots\),就可以求出\(P(A) = \sum_i P(A|B_i)P(B_i)\)一样,这里的\(\langle j_B|\psi\rangle \langle\psi|j_B\rangle\)就相当于\(P(A|B_j)P(B_j)\)。

也就是说,对于 Alice 能做的所有局域测量来说,她并不需要知道整个双 qubit 系统的全部信息,只需要知道 \(\rho_A\) 就够了。

例如,考虑 Bell 态

\[ |\psi\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}. \]

整个系统明明是一个纯态,但如果对 Bob 的自由度做偏迹,就会得到

\[ \rho_A = \operatorname{Tr}_B(|\psi\rangle\langle\psi|) = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| + \frac{1}{2}|1\rangle\langle 1|. \]

这说明: 整个系统虽然是纯态,但 Alice 单独拿到的子系统却是混态。这正是纠缠态的一个典型特征。

Info

  • 密度矩阵的迹都是 \(1\),因为密度矩阵的特征值代表了系统处在某个态的概率,而这些概率加起来必须是 \(1\)。

  • 要看某个量子比特是不是纯态,就看它的密度矩阵 \(\rho\) 的迹 \(\operatorname{Tr}(\rho^2)\) 是不是 \(1\)。如果 \(\operatorname{Tr}(\rho^2) = 1\),说明这个量子比特是纯态;如果 \(\operatorname{Tr}(\rho^2) < 1\),说明这个量子比特是混态。

    因为纯态的密度矩阵是一个投影算子,它的特征值只有 \(0\) 和 \(1\),而且只有一个特征值是 \(1\),所以 \(\operatorname{Tr}(\rho^2) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1\);混态的密度矩阵的特征值是一些小于 \(1\) 的数,所以 \(\operatorname{Tr}(\rho^2) < \operatorname{Tr}(\rho) = 1\)。

  • Shannon 熵 \(S(\rho) = -\operatorname{Tr}(\rho \log_2 \rho) = - \sum_i \lambda_i \log_2 \lambda_i\) 可以用来量化一个量子态的混乱程度。对于纯态来说,Shannon 熵是 \(0\);对于混态来说,Shannon 熵大于 \(0\)。

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