量子系统的时间演化
时间演化算子
在前面几讲中,我们讨论了测量的过程:对一个处于态 \(|\psi\rangle\) 的系统进行测量,会以一定的概率得到某个本征值,并且测量之后系统的状态会发生坍缩。
但量子系统并不总是处在被测量的状态下。在两次测量之间,系统会随着时间自行演化,这个过程和测量有着本质的不同。
与测量不同,当系统随时间演化时,我们是把一个算子作用在态向量上的。
给定系统在 \(t=0\) 时刻的状态 \(|\psi(0)\rangle\),它在 \(t\) 时刻的状态可以表示为
\[
|\psi(t)\rangle = U(t)\,|\psi(0)\rangle,
\]
其中 \(U(t)\) 称为时间演化算子(time-evolution operator)。
测量和时间演化是量子力学中两种截然不同的过程:
|
测量 |
时间演化 |
| 是否确定性 |
❌ 随机的 |
✅ 确定的 |
| 是否可逆 |
❌ 一般不可逆 |
✅ 可逆 |
| 对状态的作用 |
态向量坍缩到本征态 |
态向量被 \(U(t)\) 线性变换 |
也就是说:
-
测量:概率性的、不可逆的。对系统的测量会不可预测地把态投影到某个本征态上,并且无法还原。
-
时间演化:确定性的、可逆的。在两次测量之间,系统的演化是完全由 \(U(t)\) 决定的,知道 \(|\psi(0)\rangle\) 就能精确预测 \(|\psi(t)\rangle\),反之亦然。
接下来,我们从严密的数学角度推导时间演化算子的性质以及薛定谔方程：
时间演化与薛定谔方程
由于时间演化必须保持态向量的归一性,即
\[
\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = 1,
\]
可以推导出 \(U(t)\) 必须是一个幺正算子(unitary operator),满足
\[
U^\dagger(t)\,U(t) = I.
\]
归一化条件推导
设 \(|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle\),则
\[
\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle
= \langle\psi(0)|U^\dagger(t)\,U(t)|\psi(0)\rangle.
\]
若要对所有初态 \(|\psi(0)\rangle\) 均有归一化成立,就需要
\[
U^\dagger(t)\,U(t) = I.
\]
幺正性也正是时间演化可逆的原因:由于 \(U^\dagger = U^{-1}\),我们可以直接写出
\[
|\psi(0)\rangle = U^\dagger(t)\,|\psi(t)\rangle,
\]
即只要知道 \(t\) 时刻的状态,就能唯一地还原出初始时刻的状态。
考虑无穷小时间步长 \(\delta t\) 下的演化算子 \(U(\delta t)\)。
它需要满足两个条件。
1. 幺正性
\[
U^\dagger(\delta t)\,U(\delta t) = I.
\]
2. 连续性（当 \(\delta t \to 0\) 时，\(U(\delta t) \to I\)）
对 \(U(\delta t)\) 关于 \(\delta t\) 展开到一阶，可以写成
\[
U(\delta t) = I - \frac{i}{\hbar} H\,\delta t,
\]
其中 \(U(0) = I\)，前面的系数 \(-i/\hbar\) 是约定俗成的写法（引入后可使 \(H\) 具有能量量纲）。
将以上两个条件合在一起，把 \(U(\delta t)\) 代入幺正条件：
\[
\left(I + \frac{i}{\hbar} H^\dagger\,\delta t\right)\!\left(I - \frac{i}{\hbar} H\,\delta t\right) = I.
\]
展开并保留到 \(O(\delta t)\) 的一阶项，得到
\[
I + \frac{i}{\hbar}(H^\dagger - H)\,\delta t + O(\delta t^2) = I.
\]
因此必须有
\[
H^\dagger - H = 0 \quad \Longrightarrow \quad H^\dagger = H.
\]
也就是说，哈密顿量 \(H\) 必须是厄米算子。
根据无穷小演化的定义
\[
U(\delta t) = I - \frac{i}{\hbar} H\,\delta t,
\]
将其作用在 \(t\) 时刻的态上，得到
\[
|\psi(t + \delta t)\rangle = U(\delta t)\,|\psi(t)\rangle = |\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar} H\,|\psi(t)\rangle\,\delta t.
\]
整理后，
\[
|\psi(t + \delta t)\rangle - |\psi(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar} H\,|\psi(t)\rangle\,\delta t.
\]
两边除以 \(\delta t\)，令 \(\delta t \to 0\) 取极限，得到
\[
\lim_{\delta t \to 0} \frac{|\psi(t+\delta t)\rangle - |\psi(t)\rangle}{\delta t} = \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar} H\,|\psi(t)\rangle.
\]
两边乘以 \(i\hbar\)，即得到
\[
\boxed{i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H\,|\psi(t)\rangle,}
\]
这正是含时薛定谔方程(time-dependent Schrödinger equation)。
哈密顿量与 Rabi 振荡
根据上面的讨论,如果我们知道一个系统的初始状态以及它的哈密顿量,就可以利用薛定谔方程精确地预测它在任意时刻的状态。
单比特自旋
所有 \(2\times 2\) 厄米矩阵都可以展开成单位矩阵 \(I\) 和三个泡利矩阵的线性组合：
\[
H = c_0 I + c_x \sigma_x + c_y \sigma_y + c_z \sigma_z, \qquad c_0, c_x, c_y, c_z \in \mathbb{R}.
\]
其中单位矩阵 \(I\) 只贡献一个整体的常数能量，它只会改变整体相位因子，对物理可观测量没有影响。泡利矩阵的高次幂不会出现，因为 \(\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = I\) 以及反对易关系 \(\sigma_x \sigma_y = -\sigma_y \sigma_x = i\sigma_z\) 等。这意味着高次幂都可以化回线性组合，不会产生新的独立项。
自旋是一个三维向量，而哈密顿量必须是一个标量算子，因此自旋必须与另一个三维向量做内积。在磁场 \(\vec{B}\) 中，自然的选择是
\[
H \sim -\vec{\sigma} \cdot \vec{B} = -(B_x \sigma_x + B_y \sigma_y + B_z \sigma_z) = -\begin{pmatrix} B_z & B_x - iB_y \\ B_x + iB_y & -B_z \end{pmatrix}.
\]
作为一个具体的例子，考虑磁场沿 \(z\) 轴方向：\(\vec{B} = B_z\hat{z}\)。此时哈密顿量简化为一个标准形式，通常写作
\[
H_0 = -\frac{\hbar\omega_0}{2}\,\sigma_z
= \begin{pmatrix} -\dfrac{\hbar\omega_0}{2} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{\hbar\omega_0}{2} \end{pmatrix},
\]
其中我们把磁场强度 \(B_z\) 吸收进频率 \(\omega_0\) 中（\(\omega_0 \propto B_z\)）。
\(H_0\) 的两个本征值和对应本征态为
\[
H_0|0\rangle = -\frac{\hbar\omega_0}{2}|0\rangle, \qquad
H_0|1\rangle = +\frac{\hbar\omega_0}{2}|1\rangle.
\]
前面的负号是一个约定：这样 \(|0\rangle\)（自旋向上，spin-up）对应较低能量，即系统的基态；而 \(|1\rangle\)（自旋向下，spin-down）是激发态。
想要操控量子态的翻转，我们就必须探究时变的磁场，也就是著名的 Rabi 振荡。
Rabi 振荡的物理过程
沿 \(z\) 轴的恒定磁场 \(\vec{B} = B_z\hat{z}\) 只能让态绕 \(z\) 轴进动，无法将 \(|0\rangle\) 转变为 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 的任意叠加态。
要实现这一变换，需要在 \(z\) 方向磁场之外，再施加一个在 \(x\)-\(y\) 平面内以角频率 \(\omega\) 旋转的横向磁场：
\[
\vec{B}_1(t) = B_1(\cos\omega t\,\hat{x} - \sin\omega t\,\hat{y}).
\]
此时完整的哈密顿量变为
\[
H(t) = -\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z - \frac{\hbar\omega_1}{2}(\sigma_x\cos\omega t - \sigma_y\sin\omega t).
\]
横向磁场 \(\vec{B}_1(t)\) 以角频率 \(\omega\) 旋转，我们引入一个随场旋转的参考系（rotating frame）。这样的情况下,我们就能把横向磁场看作是时间无关的。所以我们直接认为只有x方向的磁场存在。
在施加了这样的一个横向参考系之后,我们必须考虑其在Z轴带来的变化.也就是导致Z方向的磁场从 \(\omega_0\) 变为 \(\omega_0-\omega\)。
因此，旋转系中的有效哈密顿量为
\[
H' = -\frac{\hbar(\omega_0-\omega)}{2}\sigma_z - \frac{\hbar\omega_1}{2}\sigma_x.
\]
\(H'\) 等价于自旋在沿方向
\[
\hat{n} = \left(\frac{\omega_1}{\Omega},\;0,\;\frac{\omega_0-\omega}{\Omega}\right)
\]
的磁场中运动，其中 Rabi 频率定义为
\[
\Omega = \sqrt{(\omega-\omega_0)^2 + \omega_1^2}.
\]
有效磁场的大小正比于 \(\hbar\Omega/2\)。若 \(t=0\) 时自旋处于 \(|0\rangle\)，则它将以特征频率 \(\Omega\) 绕 \(\hat{n}\) 轴进动。
在 \(t\) 时刻，系统处于 \(|1\rangle\) 的概率为
\[
|\langle 1|\psi(t)\rangle|^2 = \left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2 \sin^2\frac{\Omega t}{2}.
\]
这就是 Rabi 振荡（Rabi oscillations）现象——量子计算中操控量子比特的基本过程。通过将量子比特暴露在适当频率的周期性电磁场中并精确控制时间，即可实现对量子态的任意旋转。
共振条件：当 \(\omega = \omega_0\) 时，\(\Omega = \omega_1\)，跃迁概率可达到 \(1\)，即自旋可以从 \(|0\rangle\) 完全转变为 \(|1\rangle\)。
时间无关哈密顿量的一般求解
当哈密顿量 \(H\) 不随时间变化时，薛定谔方程可以通过符号积分直接求解：
\[
|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle = e^{-\frac{iHt}{\hbar}}|\psi(0)\rangle.
\]
实际计算时，按以下步骤进行：
1. 求本征值和本征向量
\[
H|j\rangle = E_j|j\rangle.
\]
2. 将初态在本征基下展开
\[
|\psi(0)\rangle = \sum_j |j\rangle\langle j|\psi_0\rangle.
\]
3. 写出任意时刻的态
每个本征分量独立演化，只获得相位因子 \(e^{-iE_j t/\hbar}\)：
\[
|\psi(t)\rangle = \sum_j e^{-iE_j t/\hbar}\,|j\rangle\langle j|\psi_0\rangle.
\]
物理含义
能量本征态 \(|j\rangle\) 在时间演化下只积累相位，不改变概率分布，称为定态（stationary state）；一般叠加态则随时间振荡，产生类似 Rabi 振荡这样的动力学现象。
密度矩阵的变化
我们从两个方面来看密度矩阵的变化:
-
密度矩阵随时间演化
-
密度矩阵因测量而变化
时间演化
正如我们之前学的,对于一个纯态,其随时间演化为
\[
\psi(t) = U(t)\psi(0).
\]
密度矩阵就可以推导为
\[
\rho(t) = |\psi(t)\rangle\langle\psi(t)| = U(t)\rho(0)U^\dagger(t).
\]
在前面我们已经有:
\[
U(t) = \exp\left[-\frac{iHt}{\hbar}\right].
\]
对于无穷小 \(\delta t\)，我们有
\[
U(\delta t) = e^{-iH\delta t/\hbar} = I - \frac{i}{\hbar}H\,\delta t + O(\delta t^2).
\]
泰勒展开
将其代入到密度矩阵的演化公式中，我们期望得到
\[
\begin{aligned}
\rho(t + \delta t) &= \left(I - \frac{i}{\hbar}H\,\delta t\right) \rho(t) \left(I + \frac{i}{\hbar}H\,\delta t\right) + O(\delta t^2) \\
&= \rho(t) - \frac{i\delta t}{\hbar} [H\rho(t) - \rho(t)H] + O(\delta t^2) \\
&= \rho(t) - \frac{i\delta t}{\hbar} [H, \rho(t)] + O(\delta t^2),
\end{aligned}
\]
其中我们使用了对易子 \([A, B] = AB - BA\)。
取极限 \(\delta t \to 0\)，我们获得描述密度矩阵随时间演化的基本微分方程
\[
\dot{\rho}(t) = \frac{\rho(t+\delta t)-\rho(t)}{\delta t} = \frac{1}{i\hbar}[H,\rho(t)] = \mathcal{L}(\rho(t)).
\]
其中 \(\mathcal{L}\) 称为 Liouvillian 超算子
纯度（Purity）的守恒
我们证明:哈密顿算符不改变系统的纯度.
\[
\frac{d}{dt} \operatorname{Tr}(\rho^2) = \operatorname{Tr}\left(\frac{d\rho^2}{dt}\right) = \operatorname{Tr}(2\rho\dot{\rho}) = \frac{1}{i\hbar}\operatorname{Tr}\Big(\rho(H\rho - \rho H)\Big) = 0.
\]
测量
我们先定义:
-
\(P_k\)在下文中代表了由投影算符,即 \(P_k = |k\rangle\langle k|\).
-
同时测量算子\(M= \sum_k \mu_k P_k\),其中 \(\mu_k\)是特征值
由我们之前学的,
\[
P(\mu_k) = \langle\psi| k \rangle \langle k|\psi\rangle = \langle\psi| P_k |\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\rho P_k).
\]
这里其实和上一章的期望值计算很像,这里由于\(P_k\)的本征值就是1,所以概率在数值上等于期望
在测量之后,系统的状态会坍缩到对应的本征向量:\(P_k \langle \psi |\)
这里还要做一步归一化,由于 \(P_k\) 是投影算符,所以 \(P_k^2 = P_k\),因此为
\[
\frac{P_k \langle \psi|}{\sqrt{P_k \langle \psi | \psi \rangle P_k}} = \frac{P_k \langle \psi|}{\sqrt{P(\mu_k)}}.
\]
并且由此,我们可以得到密度矩阵:
\[
\rho = | \psi \rangle \langle \psi | = \frac{P_k \langle \psi |}{\sqrt{P(\mu_k)}} \frac{\langle \psi | P_k}{\sqrt{P(\mu_k)}} = \frac{P_k \langle \psi | \psi \rangle P_k}{P(\mu_k)} = \frac{P_k \rho P_k}{\operatorname{Tr}(\rho P_k)}.
\]
这个式子是我们已经知道测量的结果是\(k\)的时候,系统的状态.如果我们并不知道测量的结果,最佳的做法是混合所有状态:
\[
\epsilon(\rho) = \sum_k P_k \rho P_k = \sum_k |k\rangle \langle k| \rho |k\rangle \langle k| = \sum_k \langle k| \rho |k\rangle |k\rangle \langle k|.
\]