Fault-Tolerant Quantum Computation¶
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描述一个纠错码的一般记号为 \([n, k, d]\)，其中：
-
\(n\)：编码后的总比特数（物理比特数）
-
\(k\)：逻辑比特数（实际承载的信息量）
-
\(d\)：任意两个合法编码（无错误编码）之间的最小距离（minimum distance）
重复码与纠错能力
重复码（repetition code）是最简单的纠错码。它将一个逻辑比特重复编码为 \(n\) 个物理比特，因此重复码的参数为 \([n, 1, n]\)。
例如三比特重复码 \([3, 1, 3]\)：\(0 \mapsto 000\)，\(1 \mapsto 111\)。
一般来说，一个具有最小距离 \(d\) 的码最多可以纠正：
个错误。
例如，对于 \(5\) 比特编码（\(d = 5\)），可以纠正最多 \(2\) 个错误，因为剩余的 \(3\) 个正确比特仍然占多数（majority）。
Surface Code¶
在表面码（Surface Code）中，量子比特排列在一个二维阵列上。通过测量稳定子（stabilizer），这些量子比特被纠缠成一个随机选取的静态态（quiescent state）。
表面码二维晶格结构示意图
在上图中：
- 黑色实心圆（●）：数据量子比特（data qubit）
- 白色空心圆（○）：测量量子比特（ancilla/measurement qubit）
- 绿色花形区域：\(Z\) 稳定子（Z-stabilizer plaquette），标有 Z 的四臂连接周围四个数据量子比特
- 黄色花形区域：\(X\) 稳定子（X-stabilizer plaquette），标有 X 的四臂连接周围四个数据量子比特
表面码具有两族稳定子：
其中 \(a, b, c, d\) 是围绕同一个测量量子比特（花形中心的黑色实心圆）的四个数据量子比特（外圈的空心圆）。
每一个稳定子的测量都需要通过一系列 CNOT 操作，涉及 4 个数据量子比特和 1 个测量量子比特。
表面码稳定子测量电路
Z 稳定子与 X 稳定子测量
对于 \(Z\) 稳定子 \(Z_a Z_b Z_c Z_d\)（绿色 plaquette，上方电路），测量流程为：
- 辅助量子比特初始化为 \(|g\rangle\)
- 以辅助量子比特为控制位，依次对数据量子比特 \(a, b, c, d\) 施加 CNOT 门（无需 Hadamard 门）
- 最终测量辅助量子比特，重复执行
测量结果为：
- \(+1\)：系统处于 \(|\Psi_{Z+}\rangle\)（无 \(X\) 类错误）
- \(-1\)：系统处于 \(|\Psi_{Z-}\rangle\)（检测到 \(X\) 类错误）
对于 \(X\) 稳定子 \(X_a X_b X_c X_d\)（黄色 plaquette，下方电路），测量流程为：
- 辅助量子比特初始化为 \(|g\rangle\)
- 施加 Hadamard 门 \(H\)，将辅助量子比特置于 \(|+\rangle\) 态
- 以辅助量子比特为控制位，依次对数据量子比特 \(a, b, c, d\) 施加 CNOT 门
- 再施加一个 Hadamard 门 \(H\)
- 最终测量辅助量子比特，重复执行
测量结果为：
- \(+1\)：系统处于 \(|\Psi_{X+}\rangle\)（无 \(Z\) 类错误）
- \(-1\)：系统处于 \(|\Psi_{X-}\rangle\)（检测到 \(Z\)（相位翻转）错误）
因此,对于表面码的检错,我们不是看某一瞬间逻辑比特到底是多少,而是看在一段时间内.逻辑比特有没有发生翻转.